01先从一个问题出发
不断有新任务到来，每次总要选最紧急的任务。无需每次把全部任务排好序。
一个具体的例子
最大堆 [9,7,6,2,3]：根 9 最大；7 与 6 的子树各自满足父值不小于子值。
02最直接的办法，为什么慢？
每次取最大值都线性扫描剩余元素。
暴力 · O(n) / 次
反复取 k 次时，需要 O(kn) 次检查。
03一步步，推导出优化思路
1
发现可以复用的信息
只要求每个父节点不小于它的孩子，根自然就是最大值。
2
建立可维护的状态
用数组存完全二叉树，孩子下标为 2i+1 和 2i+2。
3
消除重复工作
从最后一个非叶子节点向前下沉，自底向上建堆。
贯穿算法的不变量
处理 start 时，它的左右子树已经是堆；下沉后以 start 为根的树也是堆。
04让每一步，都看得见
试着先预测下一步，再点击「下一步」验证。变量、动画与代码会同步变化。
Heap交互演示
STEP 01 / 1635
018
152
227
343
412
560
631
7数组表示完全二叉树：父节点 i 的孩子是 2i+1 与 2i+2。
当前处理已处理 / 已确定未处理
01
从左到右观察数组。橙色表示当前比较，绿色表示已确定的位置。
heap.py参考实现 · 当前第 2 行
正在载入代码编辑器…
动画展示参考实现的执行轨迹。切换语言时，当前操作会定位到对应代码行。
05复杂度，来自具体的工作量
时间复杂度
这是自底向上的建堆复杂度：约 n/2 个节点无需下沉，n/4 个最多下沉 1 层，累加为 O(n)。单次入堆、出堆为 O(log n)。
辅助空间
原地下沉只需几个下标。教学函数复制输入额外占 O(n)；堆本身储存 n 个元素。
06看到什么，应该想到它？
这些特征值得停下来想一想：
07这些细节，容易踩坑
01
堆不是排序数组
兄弟节点之间没有大小保证。
02
区分大小顶堆
维护最大的 k 个值常用容量 k 的小顶堆，根是当前保留值中最小的。
08把想法带进真实题目
先说出模式和适用条件，再开始写代码。
09不用背模板，回答这几个问题
01最大堆保证什么？
02自底向上建堆为什么是 O(n)？
03取出堆顶后的修复成本？
你已经走完了这次推导。
能用自己的话解释复杂度和不变量，再标记为掌握。